Autres approches

 L'une des démarches les plus efficaces et les plus prometteuses, développée notamment à l'université de Paris-Dauphine, utilise des " équations aux dérivées partielles ", c'est-à-dire des équations différentielles où les fonctions à déterminer dépendent de plusieurs variables. Avant tout, on considère l'image à traiter comme une fonction u₀ qui, à chaque point (x, y) de l'image, associe son niveau de gris u₀(x, y) (cela pour une image en noir et blanc ; pour une image en couleurs, le principe est le même, on procède séparément sur chaque couleur de base). Il s'agit alors de construire à partir de la fonction connue u₀ une nouvelle image, plus lisse, représentée par une nouvelle fonction u. Pour ce faire, on suppose d'abord que u dépend de trois variables : x et y (comme u₀), et une troisième variable t qui va correspondre à une sorte de " degré " de lissage. En l'absence de lissage, c'est-à-dire pour t = 0, u doit correspondre à l'image bruitée initiale, condition qui s'écrit : u(x, y, t = 0) = u₀(x, y) pour tous x et y.

Ensuite, on essaye de trouver une équation que doit vérifier la fonction u(x, y, t), de manière que la solution de cette équation (c'est-à-dire u) corresponde à une image plus lisse. La recherche d'une telle équation est évidemment l'étape la plus difficile, encore plus que sa résolution effective. L'une des premières idées a été d'établir une analogie avec un phénomène physique, la diffusion de la chaleur. De la même façon que, dans un matériau, la chaleur diffuse d'un point à un autre, de proche en proche, et tend ainsi à se répartir uniformément au fur et à mesure que le temps s'écoule, on peut imaginer faire " diffuser " de proche en proche les niveaux de gris dans une image. Ainsi, les aspérités des niveaux de gris diminueront, et l'on retrouvera un niveau de gris plus uniforme : on gommera en quelque sorte les petites taches.

Une méthode de lissage consisterait donc à imposer à la fonction u(x, y, t) définie plus haut d'obéir à la même équation que celle qui décrit la propagation de la chaleur. Celle-ci est bien connue depuis le XIX^e siècle - c'est le mathématicien-physicien Joseph Fourier qui l'a établie et étudiée. La fonction u devrait ainsi vérifier l'équation aux dérivées partielles suivante :

du/dt = d²u/dx² + d²u/dy², avec la condition initiale
u(x, y, t = 0) = u₀(x, y) pour tous x et y.

Dans cette écriture, une " dérivée partielle " telle que du/dt désigne simplement la dérivée de u par rapport à t en considérant les autres variables (ici x et y) comme fixes.

La variable t s'interprète comme le temps. Supposons que l'on ait résolu l'équation, donc calculé u(x, y, t). Si l'on choisit t trop petit, les niveaux de gris n'auront pas eu le temps de diffuser, et u correspondra à une image insuffisamment lissée (on verra encore du " bruit " sur l'image). Si l'on prend t trop grand, les niveaux de gris auront complètement diffusé, et l'image entière sera d'un gris uniforme : toute l'information sera perdue. Il faut donc choisir une valeur raisonnable de t, ni trop petite, ni trop grande.

Mais cette méthode de lissage, fidèlement calquée sur la diffusion de la chaleur, pose quelques problèmes. En particulier, la diffusion des niveaux de gris s'applique aussi aux bords des objets représentés dans l'image, ce qui rend les contours plus flous (voir l'illustration). Que faire ? Modifier l'équation imposée à u de façon que la diffusion ne s'effectue pas au niveau des contours. Du point de vue mathématique, un contour est reconnaissable : il correspond à une région de l'image où le niveau de gris varie fortement, donc à des valeurs élevées de la norme du gradient de u (le gradient de u est un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles de u ; il mesure le degré de variation de u et sa direction). Les mathématiciens ont donc modifié l'équation obéie par u, ils ont remplacé son membre de droite par une expression plus compliquée, faisant intervenir entre autres le gradient de u. Il y a diverses manières de le faire, et cela demande ensuite d'autres études mathématiques par exemple pour prouver l'existence et l'unicité de la solution de l'équation, ou pour trouver une méthode de résolution (numérique) efficace et rapide. Il peut par ailleurs être montré que la minimisation d'un fonctionnelle du type suivant peut être équivalente à la résolution d'une équation aux dérivées partielles :

où I est l'image régularisée de I0 (image bruitée)

est le domaine de l'image,  est une constante et est une fonction à préciser.

Cette fonctionnelle est un compromis entre la fidélité aux données mesurées et une information à priori : l'image à chercher ne contient pas trop de discontinuités.

Quoi qu'il en soit, le résultat cherché est une diffusion anisotrope, c'est-à-dire qui ne s'effectue pas de la même façon dans toutes les directions, et le moins possible perpendiculairement aux contours. Pour plus de renseignements sur la détection de contours et la régularisuation référerez vous à l'adresse :

 http://dept-info.labri.u-bordeaux.fr/Enseignement/IMM/doc-enseignement.htm

Mis à zéro le 22/10/2004